Question

Помогите решить уравнение, спасибо

Answer 1

Ответ:

$2$

Пошаговое объяснение:

$D(x): \ 4^{x}+2 \neq 0 \Rightarrow 4^{x} \neq -2 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \ ;$

$2^{x-1}=\dfrac{36}{4^{x}+2} \quad \bigg | \quad \cdot 2$

$2^{x}=\dfrac{72}{4^{x}+2} \ ;$

$2^{x}(4^{x}+2)=72;$

$2^{x}((2^{2})^{x}+2)-72=0;$

$2^{x}(2^{2 \cdot x}+2)-72=0;$

$2^{x}(2^{x \cdot 2}+2)-72=0;$

$2^{x}((2^{x})^{2}+2)-72=0;$

$2^{x} \cdot (2^{x})^{2}+2 \cdot 2^{x}-72=0;$

$(2^{x})^{3}+2 \cdot 2^{x}-72=0;$

Введём замену:

$t=2^{x};$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t^{3}+2t-72=0;$

Сумма первого и второго слагаемых равна 72, поэтому в выборе делителей числа 72 ограничимся следующими числами:

$1, \ 2, \ 3, \ 4 \ .$

$t=1: \ 1+2-72=-69 \neq 0;$

$t=2: \ 8+4-72=-60 \neq 0;$

$t=3: \ 27+6-72=-39 \neq 0;$

$t=4: \ 64+8-72=0;$

Разделив многочлен на t – 4, получим:

$(t-4)(t^{2}+4t+18)=0;$

Найдём корни второго множителя.

$t^{2}+4t+18=0;$

$D=b^{2}-4ac \Rightarrow D=4^{2}-4 \cdot 1 \cdot 18=16-72=-56<0;$

Действительных корней нет.

Вернёмся к замене:

$2^{x}=4;$

$2^{x}=2^{2};$

$x=2;$