Question

Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине B пересекает прямую AC в точке D. Найдите отрезок BD, если A(1, -5) B(0, 2) C(3, 7)

Answer 1

Ответ:

BD ≈ 62.67

Объяснение:

Треугольник АВС

A(1; -5);   B(0; 2);   C(3; 7)

Найдём длины сторон

$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (2 + 5)^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$

$BC = \sqrt{(3-0)^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{34} \approx 5.831$

$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (7 + 5)^2} = \sqrt{148} \approx 12.166$

По теореме косинусов

АС² = АВ² + BC²- 2 · AB · AC · cos ∠B

$148 = 50 + 34 - 2\cdot \sqrt{50\cdot 34} \cdot cos~\angle B$

$cos \angle B = -\dfrac{32}{\sqrt{1700} } \approx -0.7761$

∠B ≈ 140.905°

$sin~B = \sqrt{1 - \dfrac{32^2}{1700} } \approx0.6306$

Найдём  ∠ С

По теореме синусов

$sin~C = sin~B \cdot \dfrac{AB}{AC} =0.6306\cdot \sqrt{\dfrac{50}{148} } \approx 0.3665$

∠C ≈ 21.501°

Bнешний угол при вершине В равен

180° - 140.906 = 39,094°

Биссектриса этого угла делит его на два. равных 19.547 °

В  треугольнике ВСD

∠CBD = 19.547 °

∠BCD = 180° - ∠C = 180° - 21.501° = 158.499°

sin ∠BCD = 0.3665

∠D = 180 ° - (158.499 + 19.547 °) = 1.954°

sin ∠D = 0.0341

По теореме синусов

$BD = BC\cdot \dfrac{sin~\angle BCD}{sin~\angle D} = \sqrt{34} \cdot \dfrac{0.3665}{0.0341} \approx 62.67$