Question

Многочлен Р(х) при делении на х+1 даёт остаток 5,P(x) при делении на х+3 дает остаток 9.Каков будет остаток при делении P(x) на (х-1)(х+3)?

Answer 1

По теореме Безу: P(-1) = 5 ; P(-3) = 9.

Пусть f(x) = (x - 1)(x + 3). Делим f(x) на квадратный трёхчлен, получим

f(x) = (x - 1)(x + 3)g(x) + ax + b

где g(x) - какой-то квадратный трёхчлен, (ax + b) - остаток от деления f(x) на какой-то квадратный трёхчлен.

Подставим  x = -1 и x = -3, получим систему уравнений

$\displaystyle\left \{ {{-a+b=5} \atop {-3a+b=9}} \right.$

От первого уравнения отняв второе, получим: 2a = -4 ⇒ a = -2, тогда значение b = 5 + a = 5 - 2 = 3.

Следовательно, остаток при делении P(x) на (x-1)(x+3) равен -2x + 3

ОТВЕТ: -2x + 3.