Question

Помогите пж. Найти наибольшее значение выражения 2y-4x-x^2-y^2

Answer 1

Ответ:

5.

Пошаговое объяснение:

2y - 4x - x² - y² = - ((х² + 2•х•2 + 4) - 4 + (у² - 2•у•1 + 1) - 1) = - ((х+2)² + (у - 1)² - 5)

(х+2)² + (у - 1)² ≥ 0 при всех значениях х и у, тогда

(х+2)² + (у - 1)² - 5 ≥ - 5;

- 1•((х+2)² + (у - 1)² - 5) ≤ 5.

Получили, что наибольшим значением выражения 2y - 4x - x² - y² является 5.

Оно достигается при х = - 2 и у = 1.

Answer 2

Ответ:

в точке (-2;1) имеется максимум = 5;

Пошаговое объяснение:

z =2y-4x-x^2-y^2

найдем экстремумы при помощи производных

частные производные

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = -2x-4 \qquad \frac{\delta z}{\delta y} =2-2y$

теперь решим систему

$\displaystyle \left \{ {{-2x-4=0} \atop {2-2y =0}} \right. \left \{ {{x=-2} \atop {y=1\hfill}} \right.$

мы получили точку экстремума (-2; 1)

теперь посмотрим, это минимум или максимум

вторые производные и их значения в точке (-2; 1)

$\displaystyle A=z''_{xx_{(-2;1)}}=-2\\\\C=z''_{yy_{(-2;1)}}=-2\\\\B = z''_{xy_{(-2;1)}}=0$

AC - B²= 4 > 0 и A < 0 , тогда в точке M1(-2;1) функция имеет максимум z(-2;1) = 5