Question

Вычислить
$\cos( \alpha )$
, если
$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
и
$\cot( \alpha ) = \frac{1}{ \sqrt{24} }$

​

Answer 1

Ответ:

$\cos\alpha = - \frac{1}{5}$

...решение...

$1 + {ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{ {sin}^{2} \alpha }$

поскольку в 3 четверти функция sin отрицательная получим

$\sin\alpha = - \sqrt{ \frac{1}{1 + {ctg}^{2} \alpha } } = \\ = - \sqrt{ \frac{1}{1 + ( { \frac{1}{ \sqrt{24} }) }^{2} } } = - \sqrt{ \frac{24}{25} } = - \frac{ \sqrt{24} }{5}$

функция cos в 3 четверти тоже отрицательная, поэтому

$\cos \alpha = - \sqrt{1 - {sin}^{2} \alpha } = \\ = - \sqrt{1 - ( { \sqrt{ \frac{24}{25} }) }^{2} } = - \sqrt{ \frac{1}{25} } = - \frac{1}{5}$

Answer 2

$\pi <\alpha<\dfrac{3\pi }{2}$

α  - угол третьей четверти значит Cosα < 0 .

$Ctg\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{24} }\\\\tg\alpha=\dfrac{1}{Ctg\alpha } =1:\dfrac{1}{\sqrt{24} }=1\cdot\sqrt{24} =\sqrt{24}\\\\\\1+tg^{2}\alpha=\dfrac{1}{Cos^{2}\alpha} \\\\Cos^{2}\alpha=\dfrac{1}{1+tg^{2}\alpha}=\dfrac{1}{1+(\sqrt{24})^{2} } =\dfrac{1}{1+24}=\dfrac{1}{25}\\\\Cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{1}{25} }=-\dfrac{1}{5}=-0,2\\\\\boxed{Cos\alpha=-0,2}$