Question

Пусть a и b - фиксированные числа, $0 [tex]\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$ и $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$ ?

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=a;\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=b$

Объяснение:

1) $0<a<b$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(a^x\cdot\dfrac{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}{2}\right)^{1/x}=\\ =a\cdot \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}{2}\right)^{1/x}=[\infty^0]=a\cdot \exp\left(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}{2}\right)^{1/x}\right)=\\ =a\cdot \exp\left(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\dfrac{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}{2}\right)}{x}\right)=(*)$

$\left[0<a<b\Rightarrow \dfrac{b}{a}>1\Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{b}{a}\right)^x=+\infty\right]\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\dfrac{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}{2}\right)}{x}=[\infty/\infty]=(**)$

Применим правило Лопиталя:

$(**)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{2}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}\cdot \dfrac{\left(\frac{b}{a}\right)^x}{2}\cdot \ln\dfrac{b}{a}}{1}=\ln\dfrac{b}{a}\cdot \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\left(\frac{b}{a}\right)^x}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^x}=\\ =\ln\dfrac{b}{a}\cdot \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^x+1}=\ln\dfrac{b}{a}\cdot 1=\ln\dfrac{b}{a}$

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

$(*)=a\cdot \exp\left(\ln\dfrac{b}{a}\right)=a\cdot \dfrac{b}{a}=b$

2) $0<a<b\Rightarrow \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}>0$

Тогда, согласно пункту 1,

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{b}\right)^x+\left(\dfrac{1}{a}\right)^x}{2}\right)^{1/x}=\dfrac{1}{a}$

Но тогда

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{b}\right)^x+\left(\dfrac{1}{a}\right)^x}{2}\right)^{-1/x}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-1}=a$

С другой стороны, в исходном интеграле можно провести замену:

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=\left[x=-t\Rightarrow t\to+\infty\right]=\lim\limits_{t\to+\infty}\left(\dfrac{a^{-t}+b^{-t}}{2}\right)^{-1/t}=\\ =\lim\limits_{t\to+\infty}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}\right)^t+\left(\dfrac{1}{b}\right)^t}{2}\right)^{-1/t}$

Значит,

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=a$