Question

Найдите площадь треугольника АВС если А(1;6) В(4;8) С (10;6)

Answer 1

СПОСОБ 1.

Найдём стороны треугольника АВС

$AB=\sqrt{(4-1)^2+(8-6)^2}=\sqrt{3^2+2^2} =\sqrt{9+4} =\sqrt{13}$

$AC=\sqrt{(10-1)^2+(6-6)^2}=\sqrt{9^2}=9$

$BC=\sqrt{(10-4)^2+(6-8)^2}=\sqrt{6^2+(-2)^2}= \sqrt{36+4} =\sqrt{40}$

Площадь вычислим по формуле Герона:

$p=(AB=AC+BC):2=(\sqrt{13}+9+\sqrt{40} ):2$

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} =$ $\sqrt{\frac{\sqrt{13}+9+\sqrt{40}}{2} (\frac{\sqrt{13}+9+\sqrt{40}}{2} -\sqrt{13} )(\frac{\sqrt{13}+9+\sqrt{40}}{2} -9)(\frac{\sqrt{13}+9+\sqrt{40}}{2} -\sqrt{40} )}$ =$\sqrt{\frac{\sqrt{13}+9+\sqrt{40}}{2} (\frac{-\sqrt{13}+9+\sqrt{40}}{2})(\frac{\sqrt{13}-9+\sqrt{40}}{2} )(\frac{\sqrt{13}+9-\sqrt{40}}{2} )}$ $=\frac{(\sqrt{(9+\sqrt{40})^2-\sqrt{13} ^2)(\sqrt{13}^2-(9-\sqrt{40}^2 ) } }{4}$ $=\frac{(\sqrt{(81+40+18\sqrt{40}-13)(13-81-40+18\sqrt{40} ) } }{4}$$=\frac{(\sqrt{(108+18\sqrt{40})(18\sqrt{40}-108 ) } }{4}$ $=\frac{\sqrt{12960-11664 } }{4}$ $=\frac{\sqrt{1296} }{4}$ $=\frac{36}{4} =9$

Ответ: 9 кв.ед.

СПОСОБ 2.

Используем формулу $S=0,5*((x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)).$

$S=0,5*|(1-10)(8-6)-(4-10)(6-6)|=0,5*|(-9)*2-(-6)*0|=0,5*|-18-0|=18:2=9$

Ответ: 9 кв.ед.