Question

прошу, помогите пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_{x+a}(x^2-7x+10)=2$

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{c}x^2-7x+10>0\\x+a>0\\x+a\ne1\end{array}\right,\;<=>\;\left\{\begin{array}{c}x\in(-\infty;\;2)\cup(5;\;+\infty)\\x>-a\\x\ne1-a\end{array}\right;$

Решение:

$\log_{x+a}(x^2-7x+10)=2\\x^2-7x+10=(x+a)^2\\x^2-7x+10=x^2+2ax+a^2\\a^2+2ax+7x-10=0$

Заметим, что при $a=-\dfrac{7}{2}$ равенство ложно при любом $x$.

Тогда:

$a^2+x(2a+7)-10=0\\x=\dfrac{-a^2+10}{2a+7}$

Найденный корень должен:

• Принадлежать ОДЗ.

• Находиться в интервале $(0;\;1)$, что гарантирует фрагмент ОДЗ.

Поэтому перейдем к системе:

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{-a^2+10}{2a+7}>-a\\\dfrac{-a^2+10}{2a+7}\ne1-a\\0<\dfrac{-a^2+10}{2a+7}<1\end{array}\right,\;<=>\;\left\{\begin{array}{c}a\in\left(-5;\;-\dfrac{7}{2}\right)\cup\left(-2;\;+\infty\right)\\a\ne\dfrac{\sqrt{13}-5}{2}\\a\nea\ne\dfrac{-\sqrt{13}-5}{2}\\a\in\left(-\sqrt{10};\;-3\right)\cup\left(1;\;\sqrt{10}\right)\end{array}\right,\;<=>\\<=>\;a\in\left(1;\;\sqrt{10}\right)$

Итого при $a\in\left(1;\;\sqrt{10}\right)$ исходное уравнение имеет ровно один корень на интервале $(0;\;1)$.

Ответим теперь на вопрос задачи:

Наименьшее целое значение параметра - это $a=2$.

Задание выполнено!