Question

найдите все значения параметра а для каждого из которых уравнение 9^x+(a-9)3^x=(5+2|a-1|)3^x+(a-9)(5+2|a-1|) имеет единственное решение

Answer 1

Ответ:

$\{-2;2\}\cup[9;+\infty)$

Пошаговое объяснение:

Пусть $3^x=t>0$. Показательная функция — монотонно возрастающая, поэтому на количестве корней эта замена не сказывается (кроме t ≤ 0). Тогда

$t^2+(a-9)t=(5+2|a-1|)t+(a-9)(5+2|a-1|)\\t(t+a-9)-(5+2|a-1|)(t+a-9)=0\\(t+a-9)(t-(5+2|a-1|))=0\\\displaystyle \left [ {{t=9-a} \atop {t=2|a-1|+5}} \right.$

Заметим, что второй корень всегда положителен, то есть как минимум один корень у этого уравнения есть. Тогда другой корень должен быть либо неположительным, либо совпасть с первым.

В первом случае $9-a\leq 0\Leftrightarrow a\geq 9$.

Во втором случае $9-a=2|a-1|+5$

Если a ≥ 1, то $9-a=2a-2+5\Leftrightarrow 3a=6\Leftrightarrow a=2\geq 1$

Если a < 1, то $9-a=2-2a+5\Leftrightarrow a=-2<1$

Таким образом, $a\in\{-2;2\}\cup[9;+\infty)$