Question

Доказать, что для любого натурального верно равенство:

1 · (n − 1) + 2 · ( n− 2) + 3 · ( n− 3) + · · · + ( n− 1) · 1 =(n − 1) · n · ( n+ 1)/6

Answer 1

Нам потребуются формулы, которые будем считать известными:

$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2};$

$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$

Имеем:

$\sum\limits_{k=1}^{n-1}k(n-k)=n\sum\limits_{k=1}^{n-1}k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2= \frac{(n-1)n^2}{2}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=$

$=\frac{(n-1)n(3n-(2n-1))}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6},$ что и требовалось доказать.