Question

Решите уравнение . В ответ запишите количество различных корней уравнения на промежутке 0°≤х≤180° (Вписать правильный ответ) sin⁴ x+cos⁴х = sin⁴2x+cos⁴2x

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$sin^4x+cos^4x=sin^42x+cos^42x\\(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=(sin^22x+cos^22x)^2-2sin^22xcos^22x\\sin^2xcos^2x=sin^22xcos^22x\\sin^2xcos^2x-4sin^2xcos^2xcos^22x=0\\sin^2xcos^2x(1-4cos^22x)=0,\;<=>\;sinxcosx(1+2cos4x)=0$

Получили, что задача свелась к решению уравнения:

$sinxcosx(1+2cos4x)=0$

$\left[\begin{array}{c}x=n\pi,\;n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{l\pi}{2},\;l\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{m\pi}{2},\;m\in Z\end{array}\right;$

Объединим найденные решения:

$x=\dfrac{t\pi}{6},\;t\in Z$

Ответим теперь на вопрос задачи: 7.

Задание выполнено!