Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ! ПОМОГИТЕ СРОЧНО!
Найти целые значения параметра m, при которых уравнение имеет ровно два решения. Если таких значений несколько, запишите в ответ их сумму.

Answer 1

Ответ:

-8

Пошаговое объяснение:

ОДЗ: $\begin{equation*}\begin{cases}2x-3>0,\\2x-3\neq 1,\\x^2+mx+11>0\end{cases}\end{equation*}$ $\begin{equation*}\begin{cases}x>1{,}5,\\x\neq 2,\\x^2+mx+11>0\end{cases}\end{equation*}$

Тогда уравнение равносильно следующему:

$(2x-3)^{\log_{2x-3}{(x^2+mx+11)}}=(2x-3)^0\\x^2+mx+11=1$

Так как мы ищем x, удовлетворяющие такому равенству, условие $x^2+mx+11>0$ выполняются автоматически.

$x^2+mx+10=0\\D=m^2-40>0\Leftrightarrow m\in(-\infty;-2\sqrt{10})\cup(2\sqrt{10};+\infty)$

Учтём ограничения. Если x ≠ 2, то равенство $2^2+2m+10=0\Leftrightarrow m=-7$ не выполняется, значит, m ≠ -7.

Для учёта первого ограничения найдём корни уравнения:

$x_1=\dfrac{-m-\sqrt{m^2-40}}{2},x_2=\dfrac{-m+\sqrt{m^2-40}}{2}\\x_1<x_2$

Если x₁ > 1,5, то x₂ также будет больше 1,5.

$\dfrac{-m-\sqrt{m^2-40}}{2}>\dfrac{3}{2}\\m+\sqrt{m^2-40}<-3\\\sqrt{m^2-40}<-m-3\Rightarrow -m-3>0\Leftrightarrow m<-3\\\displaystyle\left \{ {{m<-3} \atop {m^2-40<(m+3)^2}} \right. \left \{ {{m<-3} \atop {m^2-40<m^2+6m+9}} \right. \left \{ {{m<-3} \atop {m>-\dfrac{49}{6}}} \right.$

Учитывая ограничения дискриминанта, -2√10 < -3, а также m ≠ -7 (находится между $-\dfrac{49}{6}=-8\dfrac{1}{6}$ и $-7=-\sqrt{49}<-2\sqrt{10}=-\sqrt{40}<-\sqrt{36}=6$), получаем $m\in\left(-\dfrac{49}{6};-7\right)\cup\left(-7; -2\sqrt{10}\right)$. Целые значения параметра m: -8.