Question

Натуральные числа a и b таковы, что (a,b)=1. Какое наибольшее значение может принимать (a+100b,100a+b)?

Answer 1

Ответ:

100² – 1 = 9999

Пошаговое объяснение:

Дополненное условие: Натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b)=1. Какое наибольшее значение может принимать НОД(a+100·b,100·a+b)?

Решение. Обозначим

m = a+100·b, n = 100·a + b,  d = НОД(m, n) = НОД(a+100·b,100·a+b).

Теперь умножим m и n на 100:

100·m = 100·a+10000·b, 100·n = 10000·a + 100·b.

Рассмотрим разности:

100·m – n = 100·a+10000·b – (100·a + b) = 9999·b,

100·n – m = 100·b+10000·a – (100·b + a) = 9999·a.

Так как d является делителем чисел m и n, то 100·m – n и 100·n – m также делится на d. Тогда d делит также числа 9999·a и 9999·b.

Но НОД(a,b)=1, то есть числа a и b взаимно просты, поэтому d делит число 9999.  

Определим числа a и b. Положим a = 100² – 100 – 1 = 9899, b = 1. Тогда получим

n = 100·(100² – 100 – 1) + 1 = 100·(100² – 1) – 100² + 1 = (100² – 1)(100 – 1),

m = 100² – 100 – 1 + 100 = 100² – 1 = 9999 = d.