У исполнителя вычислить две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. прибавь 4,
3. умножить на 3.
Первая из них увеличивает число на экрана на 1, вторая – на 4, третья – увеличивает его в 3 раза. Программа для Вычислителя – это последовательность команд. Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 16?
Ответы
Есть несколько алгоритмов решения такой задачи.
Прямой перебор - попытка перебрать всевозможные последовательности этих команд и посмотреть, какие из них, примененные к 1 сделают из нее 16 - но это долгий способ, оценка сложности сверху без короткой схемы - это 3^15 таких последовательностей (сколько всего команд) ^ (максимально возможное число команд в подходящей программе, это 15 прибавлений по единичке).
Можно развить подход "от противного", который лежит в основе идей динаимического программирования: обозначив n(x) - какое количество различных программ преобразую число 1 в x, получаем формулу для исходного n(16) = n(15) + n(12) = (n(14) + n(11) + n(5)) + (n(11) + n(8) + n(4)) = ...
Будем считать, что n(1) = 1
Тогда вот функция на питоне для подсчёта искомого числа. Вызов n(16) вернёт результат 136
def n(x):
if x < 1: return 0
elif x == 1: return 1
else: return n(x - 1) + n(x - 4) + (0 if x % 3 != 0 else n(x // 3))
У такого подхода есть несомненное преимущество: его не только проще написать, но и сложность его O(n)