Question

Даны числа $a_1\ \textless \ a_2\ \textless \ \ldots \ \textless \ a_N.$ Найти x, при которых функция
$y=|x-a_1|+|x-a_2|+\ldots + |x-a_N|$
принимает наименьшее значение.
Если для произвольного N решить трудно, рассмотрите случаи N=1, 2, 3, 4, 5, 2021, 2022. Ес ли для произвольных чисел решить трудно, возьмите в качестве k-го числа к-е простое число (напоминаю. что 1 не является простым числом). То есть
$a_1=2,\ a_2=3,\ a_3=5,\ldots$

Answer 1

Ответ:

Если N четно,  $x\in\left[a_\frac{N}{2};a_{\frac{N}{2}+1}\right]$, а если нечетно, $x=a_\frac{N+1}{2}$

Объяснение:

N=1: модуль не может принимать значения, меньшие 0. При этом $y(x)=0\Leftrightarrow |x-a_1|=0\Leftrightarrow x=a_1$ - а значит $a_1$ и есть оптимальное [будем называть оптимальными искомые значения переменной] значение.

N=2: Тут возможны 3 случая.

1) $x=a_1-b, b>0 \Rightarrow x<a_1<a_2$

Тогда $y=b+|a_1-a_2-b|=b+a_2-a_1+b=2b+a_2-a_1>a_2-a_1$

2) $x=a_2+b, b>0 \Rightarrow a_1<a_2<x$

Тогда $y=|a_2+b-a_1|+b=a_2+b-a_1+b=a_2-a_1+2b>a_2-a_1$

3) $a_1\leq x\leq a_2$

Тогда $y=x-a_1+a_2-x=a_2-a_1$

Значит, оптимальными будут все значения $x\in [a_1;a_2]$.

N=2k:

Тогда функция представима в виде $y=(|x-a_1|+|x-a_{2k}|)+(|x-a_2|+|x-a_{2k-1}|)+...+(|x-a_k|+|x-a_{k+1}|)$ .

Для первого слагаемого оптимальными будут (как показано ранее) все точки отрезка $[a_1;a_{2k}]$.

Для второго слагаемого оптимальными будут все точки отрезка $[a_2;a_{2k-1}]$. При этом, по условию, имеем $[a_2;a_{2k-1}]\subset [a_1;a_{2k}]$ - то есть все точки этого отрезка оптимальны и для первого слагаемого

...

Для k-ого слагаемого оптимальными будут все точки отрезка $[a_k;a_{k+1}]$. При этом $[a_k;a_{k+1}]\subset [a_{k-1};a_{k+2}]\subset...\subset [a_1;a_{2k}]$ - то есть все точки этого отрезка оптимальны и для остальных слагаемых. Но тогда все точки этого отрезка являются оптимальными для всего набора $a_1...a_{2k}$.

N=2k+1:

Тогда функция представима в виде

$y=(|x-a_1|+|x-a_{2k+1}|)+(|x-a_2|+|x-a_{2k}|)+...+(|x-a_k|+|x-a_{k+2}|)+a_{k+1}$.

Проведя k шагов аналогичных рассуждений, получим, что для набора $a_1...a_k,a_{k+2}...a_{2k+1}$ оптимален отрезок $[a_k;a_{k+2}]$.

Для $a_{k+1}$, как показано ранее, оптимально значение $x=a_{k+1}$. При этом $a_{k+1}\in[a_k;a_{k+2}]$ - то есть это значение оптимально и для остальных слагаемых. Но тогда оно оптимально для всего набора $a_1...a_{2k+1}$.

_____________________

Собственно, если N четно, ответом будет $\left[a_\frac{N}{2};a_{\frac{N}{2}+1}\right]$, а если нечетно, $a_\frac{N+1}{2}$