Question

Помогите решить систему 50 БАЛЛОВ

Answer 1

Если x = 0  ,  то из первого уравнения y² = 0  ⇒  y = 0

Если y = 0  ,  то из второго уравнения 16x² = 0  ⇒  x = 0

Значит (0  ;  0) - решение системы

Пусть xy ≠ 0 :

$\left\{\begin{array}{ccc}y^{2}+2xy=40x \\16x^{2}+8xy=5y \end{array}\right\\\\\\\dfrac{y^{2}+2xy }{16x^{2}+8xy }=\dfrac{40x}{5y}\\\\\\\dfrac{y^{2}+2xy }{16x^{2}+8xy }=\dfrac{8x}{y} \\\\\dfrac{\frac{y^{2} }{y^{2} }+\frac{2xy}{y^{2} }}{\frac{16x^{2} }{y^{2} }+\frac{8xy}{y^{2} } }=\dfrac{8x}{y} \\\\\\\dfrac{1+2\cdot \frac{x}{y} }{16\cdot(\frac{x}{y})^{2}+8\cdot \frac{x}{y}}=8\cdot\dfrac{x}{y} \\\\\\\dfrac{x}{y}=m\\\\\dfrac{1+2m}{16m^{2}+8m }=8m \\\\\dfrac{1+2m}{8m(2m+1)}=8m$

$\dfrac{1}{8m}=8m\\\\64m^{2} =1 \ \Rightarrow \ m^{2}=\dfrac{1}{64}\\\\\left[\begin{array}{ccc}m_{1}=-\dfrac{1}{8} \\m_{2}=\dfrac{1}{8} \end{array}\right \\\\\\\left[\begin{array}{ccc}\dfrac{x}{y} =-\dfrac{1}{8} \\\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{8}\end{array}\right\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}y=-8x\\y=8x\end{array}\right$

$1)y^{2}+2xy=40x\\\\(-8x)^{2}+2x\cdot(-8x)=40x\\\\64x^{2}-16x^{2} -40x=0\\\\48x^{2} -40x=0\\\\6x^{2}-5x=0\\\\x(6x-5)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_{1}=0 \\x_{2}=\dfrac{5}{6} \end{array}\right\\\\\\x=0 \ \Rightarrow \ y=0\\\\x=\dfrac{5}{6} \ \Rightarrow \ y=-6\dfrac{2}{3}\\\\\\2)y^{2}+2xy=40x\\\\(8x)^{2}+2x\cdot(8x)=40x\\\\64x^{2}+16x^{2} -40x=0\\\\80x^{2} -40x=0\\\\2x^{2}-x=0\\\\x(2x-1)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_{3}=0 \\x_{4} =\dfrac{1}{2} \end{array}\right$

$x=0 \ \Rightarrow \ y=0\\\\x=\dfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ y=4\\\\Otvet:\boxed{(0 \ ; \ 0) \ , \ \Big(\dfrac{5}{6} \ ; \ - 6\dfrac{2}{3}\Big) \ , \ \Big(\dfrac{1}{2} \ ; \ 4\Big)}$

Answer 2

Ответ:

(0; 0), (0,5; 4), (5/6; -20/3)

Пошаговое объяснение:

$\begin{cases} y^2+2xy=40x\\16x^2+8xy=5y \end{cases}\\\begin{cases} y(y+2x)=40x\\8x(2x+y)=5y \end{cases}$

Пускай 2x+y ≠ 0. Разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{y(y+2x)}{8x(2x+y)}=\frac{40x}{5y} \\\frac{y}{8x} =\frac{8x}{y}$

Это возможно тогда и только тогда, когда y = ±8x (если предположить, что y по модулю больше, чем 8x, то выражение слева по модулю будет больше единицы, а выражение справа — меньше единицы по модулю. Аналогично, если предположить, что 8x больше y по модулю). Замечу, что в таком случае x точно не равен нулю (иначе y тоже был бы равен нулю и условие 2x+y ≠ 0 не выполнялось бы).

$\begin{cases} y=8x\\(8x)^2+2x*8x-40x=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=8x\\64x^2+16x^2-40x=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=8x\\80x^2-40x=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=8x\\40x(2x-1)=0 \end{cases}$

Случай x = 0 по описанным выше причинам сейчас не рассматриваем.

Если 2x-1 = 0, то x = 0,5, а y = 8×0,5 = 4, причем 2x+y = 2×0,5+4 = 5 ≠ 0, поэтому пара (0,5; 4) — решение системы

$\begin{cases} y=-8x\\(-8x)^2+2x*(-8x)-40x=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=-8x\\64x^2-16x^2-40x=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=-8x\\48x^2-40x=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=-8x\\8x(6x-5)=0 \end{cases}$

Случай x = 0 опять-таки не рассматриваем.

Если 6x-5=0, то x=$\frac{5}{6}$, а y=$-8*\frac{5}{6}=-\frac{20}{3}$, причем 2x+y=$2*\frac{5}{6}-\frac{20}{3}=-\frac{15}{3}$ ≠0, поэтому пара $(\frac{5}{6};-\frac{20}{3})$ — еще одно решение

___________________________________

Пускай 2x+y = 0, тогда y = -2x.

$\begin{cases} y=-2x\\(-2x)^2+2x*(-2x)=40x \end{cases}\\\begin{cases} y=-2x\\4x^2-4x^2=40x \end{cases}\\\begin{cases} y=-2x\\40x=0 \end{cases}\\x=y=0$

Получили, что пара (0; 0) все же является решением системы