Question

Даю 70 баллов! При каких значениях параметра ｋуравнение －x＾２ー２ｋｘ+k^2-8=0 имеет два положительных корня?
a) ( 2; (корень из 2))
б) (-2*(корень из 2);-2
в) 2*(корень из 2); +беск
с) - беск; -2 *(корень из 2)

Answer 1

Ответ:

k ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)

Пошаговое объяснение:

Данное уравнение (если я правильно понял):

$-x^2 - 2kx + k^2 - 8 = 0$

1. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4k^2 - 4 * (-1) * (k^2-8) > 0$

дискриминант СТРОГО больше нуля так как у нас должно быть ДВА корня, и мы считаем что они разные.

решаем полученное неравенство:

$4k^2 + 4(k^2-8) >0\\4k^2 + 4k^2 - 32 > 0\\8k^2 - 32 > 0\\k^2 > 4$

$k$ ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)

По теореме Виета:

$\left \{ {{x_1 + x_2=2k} \atop {x_1*x_2=k^2-8}} \right.$

Но также по условию корни положительны, тогда их сумма и произведение тоже положительны:

$\left \{ {{x_1+x_2>0} \atop {x_1*x_2>0}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{2k>0} \atop {k^2-8>0}} \right.$ ⇒ k ∈( ${2\sqrt{2}$; +∞)

Находим пересечение этого множества с тем, что мы нашли ранее, тогда k ∈ (${2\sqrt{2}$; +∞)