Question

Алгебра
Решить уравнение: х+1/3 log5 (x/8) + 3logx 4 =2

Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{x+1}{3}\log_5\left(\dfrac{x}{8}\right)+3\log_x4=2$, ОДЗ: $x\in(0;\;1)\cup(1;\;+\infty)$.

Решение:

$\dfrac{x+1}{3}\log_5\left(\dfrac{x}{8}\right)+3\log_x4=2\\\dfrac{x+1}{3}\left(\log_5x-3\log_52\right)+6\log_x2=2$

Выполним замену $\log_5x=y$. Тогда $x=5^y$.

Заметим сразу, что $y\ne0$, так как $x\ne1$.

Тогда уравнение примет вид:

$\dfrac{5^y+1}{3}(y-3\log_52)+\dfrac{6}{y}\log_52=2\\\dfrac{5^y+1}{3}\times y-2-\dfrac{5^y+1}{3}\times3\log_52+\dfrac{6}{y}\log_52=0$

Так как $y\ne0$, то верно, что $2=\dfrac{2y}{y}$.

С учетом этого перепишем уравнение:

$\dfrac{5^y+1}{3}\times y-\dfrac{2y}{y}-\dfrac{5^y+1}{3}\times3\log_52+\dfrac{6}{y}\log_52=0\\y\left(\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}\right)-3\log_52\left(\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}\right)=0\\\left(\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}\right)\left(y-3\log_52\right)=0$

Тогда перейдем к совокупности:

$\left[\begin{array}{c}\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}=0\\y-3\log_52=0\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку совокупности:

$\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}=0\\\dfrac{5^y+1}{3}=\dfrac{2}{y}$

Слева показательная функция. Она монотонно возрастает.

Справа гипербола. Она убывает на всей области определения.

Тогда рассматриваемое уравнение может иметь не более одного корня.

Несложно увидеть, что это $y=1$, так как при нем равенство верно.

Рассмотрим вторую строку совокупности:

$y-3\log_52=0\\y=3\log_52$

Выполним теперь обратную замену:

$\left[\begin{array}{c}y=1\\y=3\log_52\end{array}\right,\;=>\;\left[\begin{array}{c}x=5\\x=8\end{array}\right;$

Так, учитывая ОДЗ, мы получили, что $x=5$ и $x=8$ - это корни исходного уравнения.

Задание выполнено!