Question

Решить следующее задание:

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$2^{\dfrac{6}{x^2+x+1}}-a\times 2^{\dfrac{x^2+x+4}{x^2+x+1}}+10a-185<0$

Рассмотрим внимательно данное неравенство.

Прежде всего обратим внимание на показатель второй двойки:

$\dfrac{x^2+x+4}{x^2+x+1}=\dfrac{x^2+x+1+3}{x^2+x+1}=1+\dfrac{3}{x^2+x+1}$

Тогда верна запись:

$2^{\dfrac{6}{x^2+x+1}}-2a\times2^{\dfrac{3}{x^2+x+1}}+10a-185<0$

Сделаем замену вида $t=2^{\dfrac{3}{x^2+x+1}}$.

Получим неравенство:

$t^2-2at+10a-185<0$

Переформулируем условие задачи:

Найти все значения параметра $a$, при каждом их которых записанное выше неравенство содержит промежуток  $1<t\le16$.

Важным этапом решения будет заметить верхнюю границу для $t$, так как с нижней вроде бы все ясно. Понятно, что для этого надо максимизировать $\dfrac{3}{x^2+x+1}$. В знаменателе дроби видим параболу, наименьшее значение которой достигается в вершине при $x=-\dfrac{1}{2}$. Подставляя это значение в дробь получаем, что она примет значение $4$. Тогда $2^4=16$.

Введем функцию $f(x)=t^2-2at+10a-185$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Выполним схематичный чертеж:

(см. прикрепленный файл)

Опишем полученное на языке математики:

$\left\{\begin{array}{c}f(1)\le0\\f(16)<0\end{array}\right;$

Тогда решить нужно:

$\left\{\begin{array}{c}8a-184\le0\\71-22a<0\end{array}\right,\;<=>\;a\in\left(\dfrac{71}{22};\;23\right]$

Итого при $a\in\left(\dfrac{71}{22};\;23\right]$ исходное неравенство выполняется при всех $x$.

Задание выполнено!