Question

Сколькими способами можно положить 42 конфеты в три кучки так ; чтобы в каждой было четное число конфет ?

Answer 1

Для начала разобьем конфеты попарно. Тогда, понимая под объектом пару конфет, нам нужно разделить на 3 кучки 42:2=21 объект, уже не обращая внимания на четность.

Так как кучку с нулевым количеством объектов рассматривать, скорее всего, не имеет смысла, то создадим нужные 3 кучки, задействуя таким образом 3 объекта. Осталось 21-3=18 объектов.

Разделение 18 объектов на 3 кучки при условии, что очередная кучка может не содержать объектов, выражается такой конфигурацией как сочетания с повторениями, а именно:

$\overline{C_3^{18}}=C_{18+3-1}^{18}=C_{20}^{18}=C_{20}^{20-18}=C_{20}^{2}=\dfrac{20\cdot19}{2}=190$

Полученное количество способов соответствует случаю, когда порядок следования кучек важен.

Рассмотрим случай, когда порядок следования кучек не важен.

Рассмотрим способы, где три получившиеся кучки одинаковы. Такой способ один (6; 6; 6), причем он один и с учетом порядка, и без учета порядка.

Рассмотрим способы, где две получившиеся кучки одинаковы, а третья - отличается. Перечислим эти способы без учета порядка:

{0; 0; 18}; {1; 1; 16}; {2; 2; 14};

{3; 3 ;12}; {4; 4; 10}; {5; 5; 8};

{7; 7; 4}; {8; 8; 2}; {9; 9; 0}.

Способов без учета порядка 9, но каждому из них соответствует 3 способа упорядочить кучки (записать уникальный номер на первое, второе или третье место). Значит, этой ситуации отвечает 3·9=27 способов с учетом порядка и они дают 9 способов без учета порядка.

Остались способы, где все три получившиеся кучки разные. Среди способов с учетом порядка их: 190-1-27=162.

Заметим, что если есть некоторая тройка разных чисел, то упорядочить их можно 3!=6 способами. Значит, оставшиеся 162 способа с учетом порядка соответствуют 162:6=27 способам без учета порядка.

Итого способов без учета порядка:

$1+9+27=37$

Ответ: 190 способов с учетом порядка кучек; 37 способов без учета порядка кучек

Answer 2

Ответ:

190 (с учетом порядка)

37 (без учета порядка)

Пошаговое объяснение:

Нужно разложить 42 конфеты на 3 четные кучки.

Пусть есть некое разложение числа 42 в сумму трех четных натуральных слагаемых:

2n + 2m + 2r = 42

n + m + r = 21

n,m,r - произвольные натуральные числа.

Как видим, задача эквивалента нахождению разложений числа 21 в сумму трех произвольных натуральных чисел.

Рассмотрим сначала самый простой вариант. (важен порядок разбиения кучек)

То есть, например, 10,10,1 и  1,10,10 - это разные варианты.

Пусть на первом месте стоит число 1<=n<=19, тогда сумма остальных двух чисел равна: 21 - n

Число вариантов разбить  21 - n  в виде суммы двух чисел с учетом порядка равна: 21 - n - 1 = 20 - n.

Тогда,  число вариантов разбить  21 в сумма трех слагаемых с учетом порядка:

N = (20 -1)  + (20 - 2) +(20 - 3) ... + (20 - 19)  = 19 + 18 + 17 + 16 + 15... + 1 =

= 19*20/2 = 190 - сумма арифметической прогрессии.

Рассмотрим теперь уже более сложный вариант ( без учета порядка)

Число разложений в сумму трех одинаковых чисел равно  1 и равно:

7+7+7 = 21.

Найдем теперь число разложений в сумму трех чисел среди которых два числа равны (без учета порядка)

То есть такие варианты, где n = r

2n + m = 21

Откуда:

2<=2n<=20

1<=n<=10

То есть всего 9 вариантов, без учета варианта 7,7,7

Число вариантов разместить 2 одинаковых объекта и третий в определенном порядке равно трем.

Тогда число таких вариантов с учетом порядка равно: 3*9 = 27

Таким образом, пользуясь предыдущим результатом, можно найти число вариантов разложения в сумму трех различных натуральных чисел с учетом порядка:

190 - 27 - 1 = 190 - 28 = 162

Число вариантов переставить 3 различных объекта равно 3! = 6, тогда число таких вариантов без учета порядка: 162/6 = 27.

То есть общее число вариантов (без учета) порядка:

27 + 9 + 1 = 37