Question

Параметры. Очень нужна помощь!!!

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{35x^2+10ax+25}=x^2+ax+5$

Возведем уравнение в квадрат на условии, что $x^2+ax+5\ge0$.

$35x^2+10ax+25=x^4+a^2x^2+25+2ax^3+10x^2+10ax\\x^4+2ax^3+x^2(a^2-25)=0\\x^2((x^2+2ax+a^2)-25)=0\\x^2(x+a-5)(x+a+5)=0$

Тогда исходному уравнению равносильно:

$\left\{\begin{array}{c}x^2+ax+5\ge0\\\left[\begin{array}{c}x=0\\x=-a+5\\x=-a-5\end{array}\right\end{array}\right;$

Заметим, что один из корней $x=0$ не зависит от параметра и удовлетворяет неравенству системы. Тогда исходное уравнение всегда имеет один такой корень. Значит надо получить еще два, не равных нулю корня.

Так как оба корня должны удовлетворять неравенству системы, то подставим их в него и возьмем полученное в систему:

$\left\{\begin{array}{c}(-a+5)^2+a(-a+5)+5\ge0\\(-a-5)^2+a(-a-5)+5\ge0\end{array}\right;$

Решением системы будет $a\in[-6;\;6]$.

Теперь определим, при каких значениях параметра исследуемые корни обращаются в $0$.

$0=-a+5,\;=>\;a=5\\0=-a-5,\;=>\;a=-5$

Тогда такие значения параметра необходимо исключить из ответа.

Итого при $a\in\left[-6;\;-5\right)\cup\left(-5;\;5\right)\cup\left(5;\;6\right]$ исходное уравнение имеет ровно три различных корня.

Найдем теперь произведение всех натуральных значений параметра:

$1\times2\times3\times4\times6=144$

Задание выполнено!