Question

про функцию f x известно что f(0)=0 и что для каждого целого значения xвыполняется равенство f(x+1)=f(x)+2x-5. найдите f(2021)-f(-2021)

Answer 1

$f(x+1)=f(x)+2x-5$

Распишем согласно равенству $f(2021)$:

$f(2021)=f(2020)+2\cdot2020-5$

Далее аналогично:

$f(2020)=f(2019)+2\cdot2019-5$

$f(2019)=f(2018)+2\cdot2018-5$

...

$f(1)=f(0)+2\cdot0-5$

$f(0)=0$

Подставляя по цепочке все в выражение для $f(2021)$, получим:

$f(2021)=0+(2\cdot0-5)+(2\cdot1-5)+...+(2\cdot2019-5)+(2\cdot2020-5)$

$f(2021)=2\cdot(0+1+2+...+2020)-5\cdot2021$

Из исходной формулы выразим $f(x)$:

$f(x)=f(x+1)-2x+5$

Тогда можем записать следующие равенства:

$f(-2021)=f(-2020)-2\cdot(-2021)+5$

$f(-2020)=f(-2019)-2\cdot(-2020)+5$

...

$f(-1)=f(0)-2\cdot(-1)+5$

$f(0)=0$

Вновь собирая цепочку, получим:

$f(-2021)=0-2\cdot(-1)+5-2\cdot(-2)+5-...-2\cdot(-2020)+5-2\cdot(-2021)+5$

$f(-2021)=-2\cdot(0-1-2-...-2021)+5\cdot2021$

Составим требуемую разность:

$f(2021)-f(-2021)=$

$=2\cdot(1+...+2020)-5\cdot2021-(-2\cdot(-1-...-2021)+5\cdot2021)=$

$=2\cdot(1+...+2020)-5\cdot2021-(2\cdot(1+...+2021)+5\cdot2021)=$

$=2\cdot(1+...+2020)-5\cdot2021-2\cdot(1+...+2021)-5\cdot2021=$

$=2\cdot(1+...+2020)-5\cdot2021-2\cdot(1+...+2020)-2\cdot2021-5\cdot2021=$

$=-5\cdot2021-2\cdot2021-5\cdot2021=-12\cdot2021=-24252$

Ответ: -24252