Question

2arcsin^2x < 3arcsinx

Answer 1

Ответ:

(0; sin 1,5)

Объяснение:

2arcsin^2x < 3arcsinx

$2 \arcsin^2{x} < 3 \arcsin{x}$

По свойствам арксинуса, ОДЗ:

$x \in[{-1}{;} \: 1] \: = > \: \: \arcsin{x} \in[{- \frac{\pi}{2} }{;} \: \frac{\pi}{2} ]$

Замена переменной:

$t= \arcsin{x}; \:\: t\in[{- \frac{\pi}{2} }{;} \: \frac{\pi}{2} ] \\ 2 {t}^{2} < 3t \: < = > \: 2 {t}^{2} - 3t < 0 \\ 2t(t - 1.5) < 0 \\ ^{ \: + + \: \: \: \: \: \: - - \: \: \: \: \: \: + + }_ { - - - o - - - - o- - - > } \\ {}^{0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1.5 \: \: } \\t \in ({0}{;} \: 1.5) \: < = > \arcsin{x} \in ({0}{;} \: 1.5)$

Очевидно, что:

$3 < \pi \: => \: 1.5<\frac{\pi}{2}$

а значит весь отрезок входит в ОДЗ

т.к. функция арксинуса строго возрастает на всей обл. определения, а из определения арксинуса известно что

$\small{x{= }\sin({\arcsin {x}}); \: x{ \in}[{-1}{;} \: 1]; \:\arcsin {x}{\in}[{- \frac{\pi}{2} }{;} \: \frac{\pi}{2} ] }$

получаем:

$0< \arcsin{x}<1,5 \:\: \\ \sin 0< \sin(\arcsin{x})< \sin {1{,}5} \:\: \\ 0 < x < \sin {1{,}5} \\ x\in({0}{;} \: \sin{1{,}5} )$