Петя хочет написать семизначное число так, чтобы при вычёркивании любой цифры получалось бы шестизначное число, делящееся на 3. Сколькими
способами он сможет это сделать?
Ответы
Ответ: 16662
Пошаговое объяснение:
Число дает при делении на 3 тот же остаток, что и сумма его цифр.
Поскольку при вычеркивании любой цифры в числе сумма его цифр уменьшается на эту цифру и должна делится на 3, ибо число делится на 3, остаток от деления на 3 любой из его цифр равен остатку от деления этого числа на 3.
Предположим, что семизначное число дает при делении на 3 остаток p, тогда, если оно удовлетворяет требованиям, то все его цифры дают при делении на 3 остаток p, тогда сумма его 7 цифр дает тот же остаток остаток что и 7p при делении на 3, иначе говоря остаток от деления на 3 числа 7p должен быть равен p. Для остатков 0,1,2 это условие выполняется.
Для семизначных чисел дающих при делении на 3 остаток 1 или 2 могут применяться по 3 вида цифр: 1,4,7 и 2,5,8, соответственно, а вот для семизначных чисел делящихся на 3 уже могут применяться 4 вида цифр: 0,3,6,9. Но не нужно забывать, что в начале числа цифра 0 быть не может.
Найдем число вариантов, для семизначных чисел дающих остаток 1 или 2 при делении на 3.
Поскольку могут применяться 3 вида цифр отличных от 0, то на каждой из 7 позиций может быть любая из 3 цифр.
То есть общее число вариантов равно: 3^7
Для семизначных чисел кратных 3, на первой позиции возможно 3 числа (исключая 0), а на всех остальных позициях возможно 4 числа, иначе говоря, общее число вариантов для семизначных чисел кратных трем равно: 3 * 4^6
То есть общее число вариантов:
N = 2*3^7 + 3*4^6 = 4374 + 12288 = 16662