Question

То что предела нет я знаю но нужно это доказать. Прошу развернутое доказательство все таки даю 100 балов

Answer 1

Відповідь:

Функция sqrt (n) × sin (n!) при n стремящемся к бесконечности является не определенной.

Покрокове пояснення:

Предел функции sqrt (n) × sin (n!) при n стремящемся к бесконечности состоит из двух множителей:

1) множитель sqrt (n) стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности;

2) множитель sin (n!) - имеет не определенный предел на бесконечности.

Следовательно и вся функция sqrt (n) × sin (n!) при n стремящемся к бесконечности является не определенной.

Докажем это на примере функции sin (n), которая имеет так же ведет себя как и функция sin (n!) при n стремящемся к бесконечности.

Рассмотрим предел функции sin (n) при n стремящемся к бесконечности. Функция sin - знакопериодичная, так, что ее предел на бесконечности является не определенным.

Докажем это методом от противного. Пусть предел функции sin (n) при n стремящемся к бесконечности существует, значит есть конечное число, которое является решением этого предела.

Тогда предел при n стремящемся к бесконечности для функции

( sin (n+1) - sin (n-1) ) = 0

Применим формулу разности двух синусов.

sin (A) - sin (B) = 2 × cos ((A+B)/2) × sin ((A-B)/2)

Получается, что предел при n стремящемся к бесконечности для функции

2 × cos (n) × sin (1) = 0

Следовательно предел функции cos (n) = 0 при n стремящемся к бесконечности.

Значит предел при n стремящемся к бесконечности для функции

sin (2n) = 2 × sin (n) × cos (n) = 0.

Но тогда если предел sin (n) при n стремящемся к бесконечности существует, то он равен нулю.

Также всегда должно выполняться основное тригонометрическое тождество sin^2(n) + cos^2(n) = 1.

Это значит, что cos(n) стремится к нулю, а sin(n) стремится в единице.

Это противоречит здравому смыслу, значит предел функции sin (n) при n стремящемся к бесконечности является не определенным.