Question

Помогите решить уравнение,если можно по действиям

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Ответ:

$x \in \{-0.25; \: 3.5\}$

Данное решение предполагает, что при вычислении логарифма

$\log_3(x-1)^{4}$

сначала возводим (х-1) в 4 степень, и лишь потом вычисляем логарифм, учитывая что значение под логарифмом должно быть больше 0

$4 \log_3(x+4)- \log_3(x-1)^{4}=4$

ОДЗ:

$\begin{cases} x+4>0\\({x} - 1)^4>0 \end{cases} < = > \begin{cases} x> - 4\\{x} - 1 \neq0 \: _{ = > \: x \neq1} \end{cases}$

$4 \log_3(x+4)- \log_3(x-1)^{4}=4 \\ 4 \log_3(x+4)- 4\log_3 | x-1| =4 \\ \log_3(x+4)- \log_3 | x-1| =1\\ \log_3{ \frac{(x+4)}{ | x-1|}} =\log_3{3} \\ \frac{(x+4)}{ | x-1|} = 3$

Очевидно, что знаменатель не может быть равен 0, поэтому раскроем можуль следующим образом:

$\small\frac{(x+4)}{ | x-1|} = 3 \: < = > \begin{cases} \frac{x+4}{ x-1} = 3; \:x > 1 \: \: \: \: \: (1) \\ \frac{x+4}{ 1 - x} = 3; \:x < 1 \: \: \: \: \: (2) \end{cases}$

$1) \: \: npu\: \:x > 1: \: \: \qquad \qquad \qquad \: \\ \frac{x+4}{ x-1} = 3 \: < = > x + 4 = 3(x - 1) \\ x + 4 = 3x - 3 \: < = > x - 3x = - 3 - 4 \\ - 2x = - 7 \: \: < = > \: \: x = 3.5 > 1$

х = 3,5 является корнем уравнения

$\\ 2) \: \: \: \: npu\: \:x < 1: \: \: \qquad \qquad \qquad \: \\ \frac{x+4}{ 1 - x} = 3 \: < = > x + 4 = 3(1 - x ) \\ x + 4 = 3- 3x \: < = > x + 3x = 3 - 4 \\ 4x = - 1 \: \: < = > \: \: x = - \frac{1}{4} = - 0.25 < 1$

х = -0,25 тоже является корнем уравнения

Ответ: $x \in \{-0.25; \: 3.5\}$