Question

Решите уравнение и найдите корни этого уравнения на следующем промежутке

Answer 1

$\sqrt{3} \sin x + \sin 2x = 2\sin(x-\frac{\pi}{2})-\sqrt{3}\\\sqrt{3} \sin x + 2\sin x \cos x = -2\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\sqrt{3}\\\sqrt{3} \sin x + 2\sin x \cos x = -2\cos x-\sqrt{3}\\\sqrt{3} \sin x + 2\sin x \cos x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0\\\sqrt{3}(\sin x + 1) + 2\cos x(\sin x + 1) = 0\\(\sin x + 1)(2\cos x+\sqrt{3}) = 0\\\left[\begin{gathered}\sin x+1=0 \\2\cos x+\sqrt{3}=0 \\ \end{gathered} \right$

$\left[\begin{gathered}\sin x=- 1 \\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{gathered} \right\\\left[\begin{gathered}\ x=-\frac{\pi}{2} +2\pi n, n \in Z \\ \ x = \pm \frac{5\pi}{6} +2\pi k, k \in Z \\ \end{gathered} \right$

Корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{5\pi}{2} ; -\pi ]$:

$n=-1: x=-\frac{\pi}{2}-2\pi =-\frac{5\pi}{2} \\k=-1: x=\frac{5\pi}{6}-2\pi =-\frac{7\pi}{6}$