Предмет: Алгебра, автор: vityamath

Решите уравнение
[x]^{[x]} =256


vityamath: [] - целая часть от числа
kamilmatematik100504: Ухты ; там оооочень много решений напишите в условии найти все решения )
DNHelper: Решить уравнение уже подразумевает, что нужно найти все решения)

Ответы

Автор ответа: DNHelper
1

Ответ:

[4; 5)

Объяснение:

Исследуем функцию f(x)=x^x=e^{\ln{x^x}}=e^{x\ln{x}}

f'(x)=e^{x\ln{x}}\cdot (x\ln{x})'=x^x\cdot \left(1\cdot\ln{x}+x\cdot\dfrac{1}{x}\right)=x^x\cdot (\ln{x}+1)

Найдём нули производной:

x^x>0\\\ln{x}+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}\\0<\dfrac{1}{e}<1

При 0<x<\dfrac{1}{e} производная отрицательна — функция убывает, при x> \dfrac{1}{e} производная положительна — функция возрастает. x=\dfrac{1}{e} — точка минимума.

Также заметим, что \lim_{x \to 0^+} x^x=1

Исходя из этих рассуждений, уравнение x^x=a имеет:

1. 0 корней при a<\left(\dfrac{1}{e}\right)^\dfrac{1}{e}

2. 1 корень при a=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{\dfrac{1}{e}}, a\geq 1

3. 2 корня при \left(\dfrac{1}{e}\right)^{\dfrac{1}{e}}<a<1

Наше a = 256 > 1, значит, уравнение относительно [x] имеет один корень. Этот корень равен 4. Действительно, 4⁴ = 256. Тогда [x] = 4.

Такое могло получится, когда число имело вид 4,... То есть

[x]\leq x<[x]+1\Leftrightarrow 4\leq x<5

Похожие вопросы
Предмет: Окружающий мир, автор: shoringmamoyan
Предмет: Химия, автор: kirillkaleksandr