Question

№250 Ю.М. Колягин , 10 класс.
Пусть натуральные числа а,в,с не делятся на 3 . Доказать , что число а²+в²+с² делится на 3
Максимально подробно, используя теорию только данного учебника

Answer 1

Пошаговое объяснение:                                                                                       Раз они не делятся на 3 то каждое число в при делении на 3 будет давать остатки 1 или 2  теперь распишем                                             $1) \displaystyle\ \! a=3x+1 \\\\ b=3y+1 \\\\c=3z+1 \\\\ \Longrightarrow(3x+1)^2+(3y+1)^2+(3z+1)^2= \\\\\boldsymbol{9x^2+6x}+1+\boldsymbol{9y^2+6y}+1+\boldsymbol{ 9z^2+6z }+1$       можно заметить что выделенная часть всегда будет делится на 3 значит нам нужно только посмотреть на сумму единиц то есть 1+1+1=3 и поэтому число будет кратно  трем                                                                                                           Рассмотрим другой случай когда будут остатки 2 ; 1 ; 1                      $\!2) \displaystyle\ a=3x+2 \\\\ b=3y+1 \\\\c=3z+1 \\\\ \Longrightarrow(3x+2)^2+(3y+1)^2+(3z+1)^2= \\\\\boldsymbol{9x^2+12x}+4+\boldsymbol{9y^2+6y}+1+\boldsymbol{ 9z^2+6z }+1$                                            тут также выделенная   часть делится на 3 поэтому смотрим на сумму  цифр 4+1+1=6   это число делится тоже на 3                                дальше рассмотрим остатки 2;2;1                               $\!3) \displaystyle\ a=3x+2 \\\\ b=3y+2 \\\\c=3z+1 \\\\ \Longrightarrow(3x+2)^2+(3y+2)^2+(3z+1)^2= \\\\\boldsymbol{9x^2+12x}+4+\boldsymbol{9y^2+12y}+4+\boldsymbol{ 9z^2+6z }+1$                                                 тут аналогично выделенная часть делится на 3 смотрим на сумму цифр 4+4+1=9  это число делится на 3                                                          в четвертом варианте где будут остатки 2;2;2 будет все аналогично первому нам нужно просто возвести 2-ку в квадрат и так двое там всего 3          то выйдет 2²*3=12                                                      Вот мы и доказали что   что число а²+в²+с² делится на 3