Существуют ли числа (из множества действительных чисел) x, y, z такие, что x+y+z = 6 и:
a. xyz = 6
b. xyz = 9
c. xyz = 8
d. xyz = 7
Обязательно, пожалуйста, опишите принцип решения.
Ответы
Ответ:
Да
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим более общую постановку задачи: существуют ли такие действительные числа x,y,z, что x+y+z=A и xyz=B, где А и В - действительные числа?
1) В≠0 => z≠0 => условия равносильны системе x+y=A-z, xy=B/z.
А задача о существовании действительных решений такой системы равносильна задаче о существовании действительных корней квадратного уравнения t²-(A-z)t+B/z=0.
Корни существуют, если дискриминант неотрицательный:
(A-z)²-4B/z>=0
Заметим, что если зафиксировать, например, z=-B, неравенство примет вид
(A+В)²+4>=0 - верно при любых действительных А и В. А значит при таком выборе z для любых допустимых значений А и В найдутся действительные числа x и y, удовлетворяющие исходному условию.
2) В=0 => без ограничения общности, считаем z=0 => условия равносильны уравнению x+y=A. Зафиксировав, например, x=0, получаем y=-A. То есть для любого А найдутся действительные числа x,y,z, удовлетворяющие условию.
Отсюда следует, что ответ на все пункты задачи "Да"