Question

Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{5x^2+16x+12}-\sqrt[3]{5x^2+16x+11}\le1$

Пусть $u=\sqrt{5x^2+16x+12}$. Тогда $u^2=5x^2+16x+12$.

Пусть $v=\sqrt[3]{5x^2+16x+11}$. Тогда $v^3=5x^2+16x+11$.

Получили систему:

$\left\{\begin{array}{c}u-v\le1\\u^2-v^3=1\end{array}\right;$

Выразим $u$ из второй ее строки:

$u=\sqrt{1+v^3}$

Подставим в первую:

$\sqrt{1+v^3}-v\le1\\\sqrt{1+v}\left(\sqrt{1-v+v^2}-\sqrt{1+v}\right)\le0$

Домножим записанное выше на $\sqrt{1-v+v^2}+\sqrt{1+v}$. Причем то, на что мы домножаем точно не является отрицательным числом, поэтому знак неравенства сохранится. Несложно понять, что написанное ниже равносильно тому, что находится выше.

$\sqrt{1+v}\left(v-2\right)v\le0$

Получили неравенство относительно одной переменной $v$.

Причем решить его не составляет труда:

$v\in\left\{-1\right\}\cup\left[0;\;2\right]$

Делаем обратную замену:

$\left[\begin{array}{c}\sqrt[3]{5x^2+16x+11}=-1\\0\le\sqrt[3]{5x^2+16x+11}\le2\end{array}\right;$

Возводим все в куб:

$\left[\begin{array}{c}5x^2+16x+11=-1\\0\le5x^2+16x+11\le8\end{array}\right;$

Получили простейшие уравнение и двойное неравенство.

Решая каждую строку совокупности и объединяя вычисленное, получаем ответ:

$x\in\left[-3;\;-\dfrac{11}{5}\right]\cup\left\{-2;\;-\dfrac{6}{5}\right\}\cup\left[-1;\;-\dfrac{1}{5}\right]$

Неравенство решено!