Question

В десятичной записи числа 2025 цифр: 2021 тройка и цифры 2,0,2,1 выписаны в произвольном порядке. Докажите, что число не может быть полным квадратом.

Answer 1

Запишем сумму цифр нашего числа в следующем виде:

$2021 \cdot 3 + 2 + 2 + 1 = 2021 \cdot 3 + 3 + 2 = 2022 \cdot 3 + \underline{2}$

Значит, наше число дает остаток $2$ при делении на $3$. А квадраты натуральных чисел могут давать только остатки $0$ и $1$ по модулю $3$.

В этом несложно убедиться, рассмотрев все классы чисел по модулю $3$ (то есть числа с остатком $0$; $1$; $2$ соответственно):

• $(3k)^2=3\cdot(3k^2) + \underline{0}$
• $(3k+1)^2=3\cdot(3k^2+2k) + \underline{1}$
• $(3k+2)^2=3\cdot(3k^2+4k+1) + \underline{1}$

Делаем вывод, что рассматриваемое число - точно не квадрат.