Question

№354 Ю.М. Колягин, 10 класс. Максимально подробно .
Найти член разложения бинома
( х^(1/3)+1/√x )^12 , содержащий 1/х.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1-й способ.

$(\sqrt[3]{x} +\frac{1}{\sqrt{x} } )^{12}=C_{12}^0*({\sqrt[3]{x} })^{12}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^0+C_{12}^1*({\sqrt[3]{x} })^{11}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^1+C_{12}^2*({\sqrt[3]{x} })^{10}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^2+\\+C_{12}^3*({\sqrt[3]{x} })^{9}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^3+C_{12}^4*({\sqrt[3]{x} })^{8}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^4+C_{12}^5*({\sqrt[3]{x} })^{7}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^5+\\+C_{12}^6*({\sqrt[3]{x} })^{6}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^6+...=$

$=x^4+12x^{\frac{19}{6}}+66x^{\frac{7}{3}}+220x^{\frac{3}{2}}+495x^\frac{2}{3} +\frac{792}{\sqrt[6]{x} } +\frac{924}{x}+...$

Ответ: $\frac{924}{x}.$

2-й способ.

$1)\ (x+y)^n=\Sigma_{k=0}^nC_n^kx^{n-k}y^k\ \ \ \ n=12\ \ \ \ k=?$

$(\sqrt[3]{x} )^{12-k}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )k=\frac{1}{x} \\x^{\frac{12-k}{3}}*x^{-\frac{k}{2} }=x^{-1} \\x^{\frac{12-k}{3}-\frac{k}{2}}=x^{-1}\\x^{\frac{24-2k-3k}{6}}=x^{-1}\\\frac{24-5k}{6}=-1\ |*6\\24-5k-=-6\\5k=30\ |:5\\k=6.\ \ \ \ \Rightarrow\\C_{12}^6*(\sqrt[3]{x} )^{12-6}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^6=\frac{12!}{(12-6)!*6!*} *(\frac{\sqrt[3]{x} }{\sqrt{x} } )^6=\frac{6!*7*8*9*10*11*12}{6!*1*2*3*4*5*6}*\frac{x^2}{x^3}=\frac{924}{x} .$

Ответ: $\frac{924}{x}.$