Question

СРОЧНО!!!!!Применяя правило лопиталя, вычислить

Answer 1

Ответ:

$e$

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{x\to\infty} (2+e^{x^2})^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty} \left(e^{ln(2+e^{x^2})}\right)^\frac{1}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{ln(2+e^{x^2})}{x^2}}=(*)$

В силу непрерывности функции $e^x$ имеем

$(*)=e^{\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{ln(2+e^{x^2})}{x^2}}}=(**)$ $\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{ln(2+e^{x^2})}{x^2}}=\left[\infty/\infty\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{2+e^{x^2}}\cdot e^{x^2}\cdot 2x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{e^{x^2}}{2+e^{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{2e^{-x^2}+1}=1$Значит,

$(**)=e^1=e$