Question

Решите уравнение:
$2cosx-3sinx=\frac{\sqrt{3} }{3}$

Answer 1

Ответ:

x=arccos(2/sqrt(13))+arccos(sqrt(3)/3)+2*pi*n

или x=arccos(2/sqrt(13))-arccos(sqrt(3)/3)+2*pi*n

n -любое целое

Объяснение:

поделим на sqrt(9+4)=sqrt(13) (корень квадратный из 13)

Пусть  cos(y)=2/sqrt(13) и sin(y)=3/sqrt(13)

тогда  cos(x-y)=sqrt(3)/3

x=y+arccos(sqrt(3)/3)+2*pi*n

или x=y-arccos(sqrt(3)/3)+2*pi*n

где у=arccos(2/sqrt(13))

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$2\cos x-3\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\sqrt{13}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cos x-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\sin x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Пусть $\sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$. Тогда по основному тригонометрическому тождеству $\cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$.

Значит имеем:

$\sqrt{13}\left(\sin\varphi \cos x-\sin x\cos\varphi\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\sqrt{13}\times \sin\left(\varphi-x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\sin\left(\varphi-x\right)=\dfrac{\sqrt{39}}{39}$

Такое уравнение несложно решить:

$\left[\begin{array}{c}\varphi-x=\arcsin\dfrac{\sqrt{39}}{39}+2n\pi,\;n\in Z\\\varphi-x=\pi-\arcsin\dfrac{\sqrt{39}}{39}+2n\pi,\;n\in Z\end{array}\right;\\\left[\begin{array}{c}x=\varphi-\arcsin\dfrac{\sqrt{39}}{39}+2n\pi,\;n\in Z\\x=\varphi+\pi+\arcsin\dfrac{\sqrt{39}}{39}+2n\pi,\;n\in Z\end{array}\right;$

Мы выразили $x$. Осталось только выполнить подстановку $\varphi=\arcsin\dfrac{2}{\sqrt{13}}$.

$\left[\begin{array}{c}x=\arcsin\dfrac{2}{\sqrt{13}}-\arcsin\dfrac{\sqrt{39}}{39}+2n\pi,\;n\in Z\\x=\arcsin\dfrac{2}{\sqrt{13}}+\pi+\arcsin\dfrac{\sqrt{39}}{39}+2n\pi,\;n\in Z\end{array}\right;$

Уравнение решено!