Question

Помогите пожалуйста решить !!!​

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ \displaystyle \int \frac{sinx\, dx}{\sqrt[3]{cos^2x}}=-\int (cosx)^{-\frac{2}{3}}\cdot (-sinx)\, dx=-\int (cosx)^{-\frac{2}{3}}\cdot d\, (cosx)=\\\\\\=-\frac{(cosx)^{\frac{1}{3}}}{1/3}+C=-3\sqrt[3]{cosx}+C\\\\\\Proverka:\ \ \Big(-3\sqrt[3]{cosx}+C\Big)'=-3\cdot \frac{1}{3}\cdot (cosx)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (-sinx)+0=\\\\=(cosx)^{-\frac{2}{3}}\cdot sinx=\frac{sinx}{\sqrt[3]{cos^2x}}$

$b)\ \ \displaystyle \int x\cdot arcsin\frac{1}{x}\, dx=\Big[\ u=arcsin\frac{1}{x}\ ,\ du=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot \frac{-1}{x^2}\, dx=\frac{-dx}{x\sqrt{x^2-1}}\ \ ,\\\\\\dv=x\, dx\ ,\ v=\frac{x^2}{2}\ \Big]=\frac{x^2}{2}\cdot arcsin\frac{1}{x}+\int \frac{xdx}{2\sqrt{x^2-1}}=\\\\\\=\frac{x^2}{2}\cdot arcsin\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\int \frac{2xdx}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x^2}{2}\cdot arcsin\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{x^2-1}+C\ ;$

$Proverka:\ \displaystyle \Big(\frac{x^2}{2}\cdot arcsin\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{x^2-1}+C\Big)'=\\\\\\=x\cdot arcsin\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot \frac{-1}{x^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x+0=\\\\\\=x\cdot arcsin\frac{1}{x}-\frac{x}{2\sqrt{x^2-1}}+\frac{x}{2\sqrt{x^2-1}}=x\cdot arcsin\frac{1}{x}$