Question

Точки P и Q лежат внутри треугольника ABC и изогонально сопряжены относительно него. Точка QA симметрична точке Q относительно стороны BC. Известно, что ∠BQA=100∘, ∠BCA=47∘. Найдите ∠CPQA.

Answer 1

Свойство изогоналей:

AP и AQ - изогонали угла

Qb и Qc симметричны Q относительно сторон угла

Тогда AP - серединный перпендикуляр к QbQc

И тогда P - центр описанной окружности △QaQbQc

В четырехугольнике PKQcL противоположные углы прямые, следовательно сумма двух других также 180.

APB +Qc =180

Qc =QaPQb/2 (вписанный равен половине центрального)

CPQa =QaPQb/2 (CP - серединный перпендикуляр к QaQb)

=> CPQa =180-APB

a +b +APB =180 (△APB)

AQB = a +ACQ +b +BCQ = a +b +C (сумма внешних углов △AQC и △BQC)

=> AQB-C =180-APB

CPQa =AQB-C =100-47 =53°