Question

Решите, пожалуйста. Никак не могу решить xy'+4y+2x^3=0

Answer 1

Пусть у = u·v, тогда у' = (u·v)' = u'·v + u·v'. И то и другое подставляем в исходное ур-е: x(u'·v + u·v') + 4uv + 2x³ = 0 - линейное неоднородное диф. ур-е (ЛНДУ); x(u'·v + u·v') + 4uv + 2x³ = v(u'x + 4u) + xu·v' + 2x³ = 0 ⇒

v(u'x + 4u) + xu·v' = -2x³. Потребуем, чтобы u(х) была решением однородного ДУ ⇒ u'x + 4u = 0 ⇒ du/dx = - 4u/x ⇒ ∫du/u = - ∫4dx/x ⇒

lnu = - 4lnx = ln 1/x⁴⇒ u = 1/x⁴. Остаётся: xu·v' = -2x³ ⇒ (x/x⁴) · dv/dx = -2x³ ⇒

dv/dx = -2x³· x³ = - 2x⁶, v = ∫- 2x⁶dx = -2x⁷/ 7 + C ⇒

y = u·v = (-2x⁷/ 7 + C)/x⁴ = - 2x³/ 7 + C/x⁴ - общее решение ДУ