Question

Помогите, пожалуйста, с высшей математикой. Тема
Интегральное исчисление функции одной переменной

Answer 1

Ответ:

1. -2ctg2x + C

2. 0,2arctg(0,2e^x) + C

3. -ln²x / x - 2ln x / x - 2/x + C

Объяснение:

1.

$\int {(\rm tg \; x+ \rm ctg \; x)^2} \, dx =\int {\big(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} \big)^2 } \, dx =\int {\big(\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x} \big)^2 } \, dx =\\\int {\big(\frac{1}{\sin x\cos x} \big)^2 } \, dx =\int {\frac{dx}{(\sin x\cos x)^2} } \, =4\int {\frac{dx}{\sin^22x} } \, =\begin{Vmatrix} d(\rm ctg2x)=\\=-\frac{2dx}{\sin^22x} \end{Vmatrix} =\\-2\int {-\frac{2dx}{\sin^22x} } \, =-2\int {} \, d(\rm ctg2x)=-2\rm ctg2x+C$

2.

$\int {\frac{e^x}{e^{2x}+25} } \, dx =\int {\frac{e^x}{(e^x)^2+5^2} } \, dx =\int {\frac{d(e^x)}{(e^x)^2+5^2} } \,=\frac{1}{5}\rm arctg \frac{e^x}{5}+C$

3.

$\int {\frac{\ln^2x}{x^2} } \, dx=\begin{Vmatrix} u=\ln^2x&du=\frac{2\ln x}{x}dx\\dv=x^{-2}dx&v=-\frac{1}{x} \end{Vmatrix}=uv-\int {v} \, du=-\frac{\ln^2x}{x}+\\2\int {\frac{\ln x}{x^2} } \, dx=\begin{Vmatrix} u=\ln x&du=\frac{dx}{x}\\dv=x^{-2}dx&v=-\frac{1}{x} \end{Vmatrix} =-\frac{\ln^2x}{x}-\frac{2\ln x}{x} +2\int {\frac{dx}{x^2} } \,=\\ -\frac{\ln^2x}{x}-\frac{2\ln x}{x} -\frac{2}{x}+C$