Question

Пожалуйста по всей воды решайте ставлю хоть любой бал только ответ пожалуйста

Answer 1

Ответ:

(5, 3, -2)

Пошаговое объяснение:

Запишем систему в матричном виде:

$\begin{pmatrix} -2&4&-7\\1&5&9\\3&1&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16\\2\\4\end{pmatrix}$

1. Обозначим основную матрицу системы A, столбец неизвестных X, а столбец свободных членов B. Тогда систему можно записать в виде $AX=B$

Домножим обе части на матрицу, обратную A, слева и получим:

$A^{-1}AX=A^{-1}B, \; EX=A^{-1}B, \; X=A^{-1}B$, где E — единичная матрица.

Таким образом, решение системы матричным способом сводится к нахождению обратной матрицы. Сперва вычислим определитель А:

$\det A=\begin{vmatrix} -2&4&-7\\1&5&9\\3&1&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&14&11\\1&5&9\\3&1&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&14&11\\1&5&9\\0&-14&-20\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 14&11\\-14&-20\end{vmatrix}=\\14\begin{vmatrix} -1&11\\1&-20\end{vmatrix}=14((-1)*20-1*11)=14(20-11)=126 \ne 0$

Теперь транспонируем A:

$A^T=\begin{pmatrix} -2&1&3\\4&5&1\\-7&9&7\end{pmatrix}$

Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю, и заменим каждый элемент на его минор:

$A^{-1}=\frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} 5*7-9*1&-(4*7-(-7)*1)&4*9-(-7)*5\\-(1*7-9*3)&-2*7-(-7)*3&-(-2*9-(-7)*1)\\1*1-5*3&-(-2*1-4*3)&-2*5-4*1\end{pmatrix}=\\\frac{1}{126}\begin{pmatrix} 26&-35&71\\20&7&11\\-14&14&-14\end{pmatrix}$

Если перемножить обратную матрицу на саму матрицу A, можно убедиться, что она найдена верно (произведение будет единичной матрицей).

Осталось умножить обратную матрицу на столбик свободных членов:

$X=\frac{1}{126}\begin{pmatrix} 26&-35&71\\20&7&11\\-14&14&-14\end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 16\\2\\4\end{pmatrix}=\frac{1}{126} \begin{pmatrix} 26*16-35*2+71*4\\20*16+7*2+11*4\\-14*16+14*2-14*4\end{pmatrix}=\\\frac{1}{126}\begin{pmatrix} 630\\378\\-252\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\3\\-2\end{pmatrix}$

Получили, что решение системы — тройка (5, 3, -2)

2. В решении системы методом Крамера тоже задействован определитель, поэтому запишу его еще раз:

$\Delta=126$

Для нахождения x заменим первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов и вычислим определитель полученной матрицы:

$\Delta_1=\begin{vmatrix} 16&4&-7\\2&5&9\\4&1&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&0&-35\\2&5&9\\4&1&7\end{vmatrix}=-35\begin{vmatrix} 2&5\\4&1\end{vmatrix}=\\-35(2*1-4*5)=-35(2-20)=630$

Отсюда

$x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{630}{126}=5$

Для нахождения y заменим второй столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов и вычислим определитель полученной матрицы:

$\Delta_2=\begin{vmatrix} -2&16&-7\\1&2&9\\3&4&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&20&11\\1&2&9\\3&4&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&20&11\\1&2&9\\0&-2&-20\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 20&11\\-2&-20\end{vmatrix}=\\-(-20*20-(-2)*11)=-(-400+22)=378$

Отсюда

$y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{378}{126}=3$

Для нахождения z заменим третий столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов и вычислим определитель полученной матрицы:

$\Delta_3=\begin{vmatrix} -2&4&16\\1&5&2\\3&1&4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2&4&0\\1&5&-18\\3&1&0\end{vmatrix}=18\begin{vmatrix} -2&4\\3&1\end{vmatrix}=\\18(-2*1-3*4)=18(-2-12)=-252$

Отсюда

$z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-252}{126}=-2$

Решение не отличается от полученного в первом задании: (5, 3, -2).

3. Метод Гаусса предусматривает приведение матрицы к верхнетреугольному виду (элементы ниже главной диагонали —нули) с помощью элементарных действий над строками и столбцами.

$\begin{pmatrix} -2&4&-7& \big|&16\\1&5&9&\big|&2\\3&1&7&\big|&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1&5&9& \big|&2\\-2&4&-7&\big|&16\\3&1&7&\big|&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1&5&9& \big|&2\\0&14&11&\big|&20\\3&1&7&\big|&4\end{pmatrix}\sim\\\begin{pmatrix} 1&5&9& \big|&2\\0&14&11&\big|&20\\0&-14&-20&\big|&-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1&5&9& \big|&2\\0&14&11&\big|&20\\0&0&-9&\big|&18\end{pmatrix}$

Отсюда

$-9z=18, \; z=-2$

$14y+11z=20, \; 14y-22=20, \; 14y=42, \; y=3$

$x+5y+9z=2, \; x+15-18=2, \; x=2+18-15=5$

Корректность решения (5, 3, -2) подтвердил и этот способ