Question

y’’+3y’=3x+5 найти общее решение линейного неоднородного уравнение второго порядка с постоянными коэффициэнтами

Answer 1

$y''+3y'=3x+5$

1) Решим сопряжённое однородное ДУ:

$y''+3y'=0\bigskip\\y=e^{\lambda x}\bigskip\\\lambda^2+3\lambda=0\iff\lambda\big(\lambda+3\big)=0\iff \lambda_{1}=0,~\lambda_{2}=-3\bigskip\\y_{\textrm{gh}}(x)=C_{1}e^{-3x}+\widetilde{C}_{2}$

2) Найдём частное решение ДУ:

Потому как одно из характеристических чисел ($\lambda_{1}=0$) совпадает со степенью при экспоненте в квазимногочлене неоднородности ($3x+5=e^{0\cdot x}\big(3x+5\big)$) с кратностью 1, то ищем частное решение в виде многочлена на одну степень больше (причём оно определится неоднозначно):

$y_{\textrm{p}}(x)=ax^2+bx+c\implies y'_{\textrm{p}}=2ax+b,~~y''_{\textrm{p}}=2a$

$2a+6ax+3b=3x+5\iff \left\{\begin{array}{@{}l@{}} 2a+3b=5\medskip\\ 6a=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{@{}l@{}} a=\tfrac{1}{2}\medskip\\ b=\tfrac{4}{3}\end{array}\right.$

3) Обозначая сумму двух произвольных констант $\widetilde{C}_{2}+c=C_{2}$, получим

Ответ. $y(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{4}{3}x+C_{1}e^{-3x}+C_{2}$