Question

даны комплексные числа z1=-2i+3; z2= 4i-7.
Выполнить: а) сложение, вычитание, умножение и деление этих чисел;
б) найти их модуль и сопряжённые им.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а)

$z_1+z_2=3-2i+(-7+4i)=(3-7)+(-2i+4i)=-4+2i\\z_1-z_2=3-2i-(-7+4i)=3-2i+7-4i=(3+7)+(-2i-4i)=10-6i\\z_2-z_1=-7+4i-(3-2i)=-7+4i-3+2i=(-7-3)+(4i+2i)=-10+6i\\z_1z_2=(3-2i)(-7+4i)=-21+12i+14i-8\underbrace{i^2}_{-1}=-21+26i+8=-13+26i$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-2i}{-7+4i}=\frac{(3-2i)(-7-4i)}{(-7+4i)(-7-4i)} =\frac{-21-12i+14i+8i^2}{(-7)^2-(4i)^2}=\\\frac{-21+2i-8}{49+16}=\frac{-29+2i}{65}=-\frac{29}{65}+\frac{2}{65}i\\\\\frac{z_2}{z_1}=\frac{-7+4i}{3-2i}=\frac{(-7+4i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{-21-14i+12i+8i^2}{3^2-(2i)^2}=\\\frac{-21-2i-8}{9+4}=\frac{-29-2i}{13}=-\frac{29}{13}-\frac{2}{13}i$

б) Модуль комплексного числа a+bi можно найти по формуле

$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$

$|3-2i|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\|-7+4i|=\sqrt{(-7)^2+4^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$

Сопряженным комплексному числу a+bi является число a-bi.

Тогда $\overline{z_1}=\overline{3-2i}=3+2i$, $\overline{z_2}=\overline{-7+4i}=-7-4i$