Question

Докажите что если a+b+c+d=4 то тогда 1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>=4

Answer 1

Сразу скажем, что в таком виде результат неверен, более того, сумму квадратов обратных величин можно сделать сколь угодно близкой к нулю. Например, 104-100+100-100=4, а $\frac{1}{104^2}+\frac{1}{100^2}+\frac{1}{100^2}+\frac{1}{100^2}<\frac{4}{10000}.$

А вот если все четыре числа положительны, требуемое неравенство легко выводится из неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим: для неотрицательных $a_1,\ a_2,\ \ldots a_n$ справедливо неравенство $\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n},$ причем неравенство превращается в равенство только в случае $a_1=a_2=\ldots =a_n.$

Из условия a+b+c+d=4 и неравенства Коши (если a, b, c, d положительны) следует, что $1=\frac {a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{a\cdot b\cdot c\cdot d}.$ Иными словами,

$\sqrt[4]{abcd}\le 1.$ Чтобы дальше была комфортная жизнь, перепишем это в виде $\frac{1}{\sqrt[4]{abcd}}\ge 1.$

Из неравенства Коши следует, что

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}}=\frac{4}{(\sqrt[4]{abcd})^2}\ge \frac{4}{1^2}=4,$

что и требовалось доказать.