Предмет: Математика, автор: milakamilat1m

Помогите решить интеграл: $\int\limits {sin^2xcos^6x} \, dx$ Ответ: $\frac{1}{16}(\frac{5}{8} x +\frac{1}{3} sin^32x-\frac{1}{8} sin4x - \frac{1}{64} sin8x)+C$

amanda2sempl: sin²x = 0,5(1-cos2x), cos²x = 0,5(1+cos2x), W = ∫... dx = ∫0,5(1-cos2x)0,5³(1+cos2x)³dx = 0,5⁴∫(1-cos2x)(1 + 3cos2x + 3cos²2x + cos³2x)dx = 0,5⁴∫(1 + 3cos2x + 3cos²2x + cos³2x - 3cos²2x - 3cos³2x - cos⁴2x)dx = 0,5⁴∫(1 + 3cos2x - 2cos³2x - cos⁴2x)dx = [∫cos⁴2xdx = ∫0,5²(1 + cos4x)²dx = 0,5²∫(1 + 2cos8x + cos²4x)dx = 0,5²(x + 1/4 *sin8x + 0,5x + 1/16 * sin8x) = 0,5(1,5x + 5/16 * sin8x), ∫2cos³2xdx = ∫cos²2xdsin2x = 1 - sin³2x].

amanda2sempl: Верно: ∫2cos³2xdx = ∫cos²2xdsin2x = sin2x - 1/3 * sin³2x] ⇒ W = 0,5⁴∫(1 + 3cos2x - 2cos³2x - cos⁴2x)dx = 1/16 * (x + 1,5sin2x - sin2x + 1/3 * sin³2x - 0,5²(1,5x + 5/16 * sin8x)) + С = 1/16 * (x + 1,5sin2x - sin2x + 1/3 * sin³2x - 3/8 * x

amanda2sempl: Сейчас заново напишу: нашлись ошибки

amanda2sempl: sin²x = 0,5(1-cos2x), cos²x = 0,5(1+cos2x), W = ∫... dx = ∫0,5(1-cos2x)0,5³(1+cos2x)³dx = 0,5⁴∫(1-cos2x)(1 + 3cos2x + 3cos²2x + cos³2x)dx = 0,5⁴∫(1 + 3cos2x + 3cos²2x + cos³2x - cos2x - 3cos²2x - 3cos³2x - cos⁴2x)dx = 0,5⁴∫(1 + 2cos2x - 2cos³2x - cos⁴2x)dx = [∫cos⁴2xdx = ∫0,5²(1 + cos4x)²dx = 0,5²∫(1 + 2cos4x + cos²4x)dx = 0,5²(x + 1/2 *sin4x + 0,5x + 1/16 * sin8x) = 0,5²(1,5x + 1/2* sin4x+ 1/16 * sin8x) = 3/8 * x + 1/8 * sin4x + 1/64 * sin8x,

amanda2sempl: ∫2cos³2xdx = ∫cos²2xdsin2x = sin2x - 1/3 * sin³2x] ⇒ W = 1/16 * (x + sin2x - sin2x + 1/3 * sin³2x - 3/8 * x - 1/8 * sin4x - 1/64 * sin8x) + C = 1/16* (5/8 * x + 1/3 * sin³2x - 1/8 * sin4x - 1/64 * sin8x) + C

amanda2sempl: Ссылка, где обращаются с подобными интегралами

milakamilat1m: в ответ занеси, чтоб баллы получить

Ответы

Автор ответа: NNNLLL54

Ответ:

$\displaystyle \int sin^2x\cdot cos^6x\, dx=\int (sin^2x\cdot cos^2x)\cdot cos^4x\, dx=\int \frac{sin^22x}{4}\cdot \frac{(1+cos2x)^2}{4}\, dx=\\\\\\=\frac{1}{16}\int sin^22x\cdot (1+2cos2x+cos^22x)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{16}\int \Big(sin^22x+2sin^22x\cdot cos2x+sin^22x\cdot cos^22x\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{16}\int \Big(\frac{1-cos4x}{2}+sin^22x\cdot (2cos2x)+(sin2x\cdot cos2x)^2\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{16}\int \Big(\frac{1}{2}-\frac{cos4x}{2}+sin^22x\cdot (sin2x)'+\frac{sin^24x}{4}\Big)\, dx=$

$\displaystyle =\frac{1}{16}\, \Big(\frac{1}{2}\, x-\frac{1}{8}\, sin4x\Big)+\frac{1}{16}\int sin^22x\cdot d(sin2x)+\frac{1}{16}\int \frac{1-cos8x}{8}\, dx=$

$\displaystyle =\frac{1}{16}\, \Big(\frac{1}{2}\, x-\frac{1}{8}\, sin4x+\frac{sin^32x}{3}+\frac{1}{8}\, x-\frac{1}{64}\, sin8x\Big)+C=\\\\\\=\frac{1}{16}\, \Big(\frac{5}{8}\, x-\frac{1}{8}\, sin4x+\frac{1}{3}\, sin^32x-\frac{1}{64}\, sin8x\Big)+C\ ;$