Question

4sin^2x+4cosx-5=0 решить триганометрическое уравнение

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

4sin^2(x)+4cos(x)-5=0

По формуле sin^2(x)=1-cos^2(x):

4(1-cos^2(x))+4cos(x)-5=0

4-4cos^2(x)+4cos(x)-5=0

-4(cos(x))^2+4cos(x)-1=0

Сделаем замену переменной cos(x)=t:

-4t^2+4t-1=0 | *(-1)

4t^2-4t+1=0

D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*1=16-16=0

t=-b/2a=4/8=1/2

Сделаем обратную замену:

cos(x)=1/2

cos(α) = cos(2π - α) ⇒ cos(x) = 1/2 или cos(2π - x) = 1/2  

1) x = arccos(1/2)  

*** arccos(1/2) = π/3 ***  

x = π/3  

x = π/3 + 2πn, n ∈ Z  

2) 2π - x = arccos(1/2)  

2π - x = π/3  

- x = π/3 - 2π  

- x = (π - 6π)/3  

- x = - 5π/3  

- x = - 5π/3 + 2πn, n ∈ Z  

x = 5π/3 - 2πn, n ∈ Z  

****************************  

Ответ: x = π/3 + 2πn, n ∈ Z  

x = 5π/3 - 2πn, n ∈ Z