Question

Помогите решить интеграл: $\int\limits {sin^2xcos^3x} \, dx$. Ответ должен быть $\frac{sin^3x}{3} - \frac{sin^5}{5} + C$

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int sin^2x\cdot cos^3x\, dx=\int sin^2x\cdot cos^2x\cdot \underbrace {cosx\, dx}_{d(sinx)}=\int sin^2x\cdot (1-sin^2x)\cdot d(sinx)=\\\\\\=\Big[\ t=sinx\ \Big]=\int t^2\cdot (1-t^2)\, dt=\int (t^2-t^4)\, dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C=\\\\\\=\frac{sin^3x}{3}-\frac{sin^5x}{5}+C$

$P.S.\ \ \ d(sinx)=(sinx)'\, dx=cosx\, dx$