Question

Помогите решить интеграл: $\int\limits {\frac{dx}{1+sin^2x} }$. Ответ должен быть: $\frac{1}{\sqrt{2} } arctg(\sqrt{2} tg x) + C$

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int \frac{dx}{1+sin^2x}=\int \frac{\dfrac{dx}{cos^2x}}{\dfrac{1}{cos^2x}+\dfrac{sin^2x}{cos^2x}}=\int \frac{d(tgx)}{(1+tg^2x)+tg^2x}=\int \frac{d(tgx)}{1+2tg^2x}=\\\\\\=\Big[\ t=tgx\ \Big]=\int \frac{dt}{1+2t^2}=\int \frac{dt}{1+(\sqrt2t)^2}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot arctg(\sqrt2t)+C=\\\\\\=\frac{1}{\sqrt2}\cdot arctg(\sqrt2tgx)+C$