Question

Помогите решить интеграл: $\int\limits {\frac{dx}{1+sinx+cosx} }$ Ответ: ln|1+tg$\frac{x}{2}$| + C

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int {\frac{dx}{1+\sin x+\cos x} } \,=\begin{Vmatrix}t=\rm tg \frac{x}{2} , \; \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\x=2\rm arctg \; t, \; dx=\frac{2}{1+t^2}dt \end{Vmatrix} =\int {\frac{\frac{2}{1+t^2} }{1+\frac{2t}{1+t^2} +\frac{1-t^2}{1+t^2} } } \, dt=\\\int {\frac{\frac{2}{1+t^2} }{\frac{1+t^2+2t+1-t^2}{1+t^2} } } \, dt=\int {\frac{2(1+t^2)}{(1+t^2)(2t+2)} } \, dt =\int {\frac{2dt}{2(t+1)} } \, = \int {\frac{dt}{t+1} } \, =\int {\frac{d(t+1)}{t+1} } \, =$

$\ln|t+1|+C=\ln|\rm tg\frac{x}{2} +1|+C$