Question

В ряд стоят несколько натуральных чисел, ряд начинается и заканчивается числом 1. Ока- залось, что сумма никаких нескольких первых чисел не делится на 3. Докажите, что если любое некрайнее число уменьшить или увеличить на 1, то это свойство нарушится.

Answer 1

Пусть имеется $n$ чисел. Мы знаем, что, в частности, сумма всех чисел не делится на 3. Если эта сумма дает остаток 1 при делении на 3, то сумма первых $n-1$ чисел делится на 3, что невозможно. Значит, сумма всех чисел дает остаток 2 от деления на 3. Если любое некрайнее число увеличить на 1, то сумма всех чисел будет делиться на 3 и свойство нарушится. Если же любое некрайнее число уменьшить на 1, то сумма первых $n-1$ чисел делится на 3, поскольку давала остаток 1.