Точка движется в плоскости XOY так, что:
X = Asinwt
Y = A(1-coswt),
где А = 1,5м, w = 0,5 с^-1
Найдите модуль перемещения точки за время t = 5с.
Ответ: 2,8 см
Подробное решение, пожалуйста
Ответы
Дано:
X = A*sin(ωt)
Y = A*(1 - cos(ωt))
A = 1,5 см
ω = 0,5 с^-1
t = 5 c
s - ?
Решение:
Если подставить в уравнения координат начальный момент времени t = 0, то получим начальное положение точки:
Х = А*sin(ω*0) = A*sin(0) = 0
Y = A*(1 - cos(ω*0)) = A*(1 - cos(0)) = A*(1 - 1) = 0
Значит, точка находилась в начале системы координат. Очевидно, что при заданных уравнениях координат движение точки раскладывается на колебательное вдоль оси Х и такое же - вдоль оси Y. Полное движение - вращательное. Также очевидно то, что через 5 секунд точка не будет находится на какой-то из осей координатной системы, т.к. Х и Y будут больше нуля. Точка будет над осью Х и справа от оси Y. Следовательно, перемещение мы можем найти по правилу Пифагора - им будет являться гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором катетами являются отрезки, отложенные от начала системы координат. Длины отрезков равны значению координат X и Y в момент времени t = 5 c.
с² = а² + b²
s² = X² + Y² = A²*sin²(ω*t) + A²*(1 - cos(ω*t))² = A²*(sin²(ω*t) + 1 - 2*cos(ω*t) + cos²(ω*t)) = A²*(1 + 1 - 2*cos(ω*t)) = A²*2*(1 - cos(ω*t)) =>
=> s = A*√(2*(1 - cos(ω*t))) = 1,5*√(2*(1 - cos(0,5*5))) = 1,5*√(2*(1 - cos(2,5))) = 1,5*√2*(1 - (-0,8))) = 1,5*√(2*1,8) = 2,8460... = 2,8 см
Ответ: 2,8 см.
